弦振动方程的能量研究

Published on 2015 - 01 - 23

弦振动方程的能量研究

Mother Liu, God Zou, Teacher Pan


设有一无界弦做微小振动,其方程可表示为:

其中 $f(x)$ 和 $g(x)$ 有紧支集,为了简单起见,不妨设 $$x\notin[m,n], f(x)=g(x)\equiv0$$

下证$f'(x)$也为紧支集:

假设$f(x)$的紧支集为$[a,b]$

1> 若$f(x)=C(C\ne0)$,则$f'(x)=0(x$在其定义域内$)$

此情况下,$u_t^2(x,t)=0$,$u_x^2(x,t)=0$

原命题显然成立

2> 若$f(x)=C(x),$

则在[a,b]上必存在$x_0$,使得$f'(x_0)\ne0$

故存在$U(x_0)$,使得$f'(x)\ne0$

所以该$x_0$的邻域即是$f'(x)$的紧支集

证必

波动方程的 $D'Alembert$ 解为:

那么





$a=1$ 时

为方便起见,特别的,当$a=1$时

其中 $f(x)$ 和 $g(x)$ 有紧支集,为了简单起见,不妨设

其 $D'Alembert$ 解为:

那么






能量守恒

弦振动系统的动能$K(t)$:

势能$P(t)$:

系统初始能量:

系统总能量:

即系统总能量为一常数,与时间无关。


能均分原理

初始动能: $K(0)=\frac{1}{2}\int_m^ng^2(x)dx$ ,初始势能: $P(0)=\frac{1}{2}\int_m^nf'^2(x)dx$


同理,可得

即 $t$ 充分大时有 $P(t)=K(t)$ ,能量是均分的。


$a\ne1$ 时

由等式(1),(2)形式知,需重新定义势能函数,

$P(t)=\frac{a^2}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}u_x^2(x,t)dx$

此时,动能函数仍为:

$K(t)=\frac12\int_{-\infty}^{+\infty}u_t^2(x,t)dx$

采用$a=1$时的证明方法,得

系统总能量:

而此情况初始总能量为:系统初始能量:

两者相等,故也对$a\ne1$时能量守恒成立

下证能量均分定理成立:

证明方法与 $a=1$ 相同,此时可得

当 $t$ 取充分大时

证必